ФЭНДОМ


7. Матрицы Править

1. Размерность и базис суммы и пересечения Править

Идея: попреобразовывать эти наборы векторов, пока не получится очевидно линейно независимая система и, желательно, с какой-нибудь простой структурой.

а) $ Span \begin{Bmatrix} 1 && 1 && 1 && 1 \\ 1 && -1 && 1 && -1 \\ 1 && 3 && 1 && 3 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 1 && -1 && 1 && -1 \\ 1 && 3 && 1 && 3 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 1 && -1 && 1 && -1 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} $

$ Span \begin{Bmatrix} 1 && 2 && 0 && 2 \\ 1 && 2 && 1 && 2 \\ 3 && 1 && 3 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 2 && 0 && 2 \\ 1 && 0 && 1 && 0 \\ 3 && 1 && 3 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 2 && 0 && 2 \\ 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} $

Очевидно, поскольку вторая система содержит первую, её линейная оболочка содержит линейную оболочку первой, поэтому сумма равна второй системе, пересечение — первой.

б) $ Span \begin{Bmatrix} 1 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 1 \end{Bmatrix} $

$ Ann \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 2 && 1 && 1 \\ 1 && 2 && 1 && 2 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 2 && 1 && 1 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && -1 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad Span \begin{Bmatrix} 1 && 1 && -1 && -1 \end{Bmatrix} $

Второе пространство лежит в первом. Размерность суммы — 3, размерность пересечения — 1.

в) $ Ann \begin{Bmatrix} 1 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad Span \begin{Bmatrix} 1 && -1 && 1 && -1 \end{Bmatrix} $

$ Ann \begin{Bmatrix} 1 && 2 && 0 && 2 \\ 1 && 2 && 1 && 2 \\ 3 && 1 && 3 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{Bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 1 \end{Bmatrix} \quad \Rightarrow \quad Span \begin{Bmatrix} 0 && 1 && 0 && -1 \end{Bmatrix} $

Образующие векторы линейно независимы. Размерность суммы — 2, пересечения — 0.