ФЭНДОМ


Сложение Править

Можно прибавлять одно и то же число к обеим частям неравенства $ \forall x, y, z \in K \ x < y \Rightarrow x + z < y + z $ $ \phi\ x, y, z \in K \ (y + z) - (x + z) = y - x \in P $
Неравенства можно складывать... $ \forall x, y, u, v \in K x < y \bigwedge u < v \Rightarrow x + u < y + v $ $ \phi\ x, y, u, v \in K (y + v) - (x + u) = (y - x) + (v - u) \in P $
...и не только попарно $ \forall x_1 \dots x_n, y_1 \dots y_n \in K $

$ \forall i \in \overline {1, n} x_i \leq y_i \Rightarrow \sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n y_i $

$ n = 2 \ see\ 1\ and\ 2 $

$ n = k \ \sum_{i=1}^k x_i \leq \sum_{i=1}^k y_i \bigwedge x_{k+1} \leq y_{k+1}, see\ base $

Вычитание Править

Неравенства можно вычитать.

$ \forall x, y, u, v \in K \ x < y \bigwedge u < v \Rightarrow x - v < y - u $

$ \phi\ x, y, u, v \in K \ (y - u) - (x - v) = (y - x) + (v - u) \in P $

Умножение Править

Неравенства можно умножать на положительное число без изменения знака $ \forall x, y \in K \forall z \in P x < y \Rightarrow xz < yz $ $ \phi\ x, y \in K, z \in P \ yz - xz = (y - x)z \in P $
Неравенства можно умножать на неотрицательное число с изменением знака на нестрогий $ \forall x, y \in K \forall z \in P \bigcup \{0\} x < y \Rightarrow xz \leq yz $ $ \phi\ x, y \in K, z \in P \bigcup \{0\} \ yz - xz = (y - x)z \in P \bigcup \{0\} $
Неравенства можно умножать на отрицательное число с обращением знака $ \forall x, y \in K \forall z \in N x < y \Rightarrow xz > yz $ $ \phi\ x, y \in K, z \in N \ yz - xz = (y - x)z \in N $
Неравенства можно перемножать... $ \forall x, y, u, v \in P \ x < y \bigwedge u < v \Rightarrow xu < yv $ $ \phi\ x, y, u, v \in P \ yv - xu = yv - xv + xv - xu = (y - x)v + (v - u) x \in P $
...и не только попарно $ \forall x_1 \dots x_n, y_1 \dots y_n \in P $

$ \forall i \in \overline {1, n} x_i \leq y_i \Rightarrow \prod_{i=1}^n x_i \leq \prod_{i=1}^n y_i $

Индукция, аналогично сложению

Деление Править

Лемма: $ 0 \neq 1 \Rightarrow \forall x \in P \ x^{-1} \in P $

  1. $ 1 \in P \colon 1 \neq 0, 1 = 1^2 \in P $
  2. $ \phi\ x \in P \colon x \neq 0, x^{-1} \neq 0 $; предположим противное: $ x^{-1} \in N, xx^{-1} = 1 \in N ?!! $

Неравенства можно делить: $ \forall x, y, u, v \in P \ x < y \bigwedge u < v \Rightarrow \frac x v < \frac y u $

$ \phi\ x, y, u, v \in P, x < y, u < v $

$ u < v \overset ? \Rightarrow u^{-1} > v^{-1} $

$ u^{-1} = v^{-1} \Rightarrow u = v ?!! $

$ u^{-1} < v^{-1} \Rightarrow uu^{-1} < vv^{-1} \Rightarrow 1 < 1 ?!! $

$ \Rightarrow u^{-1} > v^{-1} \Rightarrow xv^{-1} < yu^{-1} $