ФЭНДОМ


Колебания — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы.

Вывод формулы x(t) Править

Для пружинного маятника Править

По II-му закону Ньютона для маятника выполняется следующее равенство:

$ \ddot x = \frac {\overrightarrow F} m $

Заметим, что единственной силой, действующей на пружинный маятник является сила упругости (трением мы пренебрегаем). По закону Гука, $ \overrightarrow F_{el} = - k \! \overrightarrow x $ всегда направлена к положению равновесия $ x_0 $ и зависит от удаления от него.

$ \ddot x= - \frac k m x $

Обозначим $ \omega_0^2 = \frac k m $:

$ \ddot x = - \omega_0^2x $

Решением этого дифференциального уравнения будет следующая функция:

$ x(t) = A \cos (\omega_0 t + \phi) $

  • Амплитуда — максимальное отклонение колеблющейся величины от некоторого усреднённого её значения для системы.
  • Период — промежуток времени, через который повторяются какие-либо показатели состояния системы (система совершает одно полное колебание).
  • Частота — число колебаний в единицу времени.
Физика3 копия

Для математического маятника Править

Для случая малых углов (а колебания чаще всего происходят при малых углах) $ x \approx l \alpha $ (теорема косинусов, $ \alpha \approx \sqrt {2 (1 - \cos \alpha)} $). Кроме того, $ F \approx m \vec g \alpha $ (по той же причине, $ \alpha \approx \sin \alpha $).

Из первого равенства:

$ \alpha = \frac x l $

По второму закону Ньютона:

$ m \ddot x = \vec F $

$ m \ddot x = - m \vec g \alpha $

$ \ddot x = - g \frac x l $

Обозначим:

$ \frac g l = \omega_0^2 $

$ \ddot x = - \omega_0^2 x $

То есть то же самое, что и в предыдущем случае.

Формулы:

$ x(t) = A \cos(\omega_0 t+\varphi_0) $

$ V(t) = -A \omega_0\sin(\omega_0 t+\varphi_0) $

$ a(t) = A\omega_0^2 \cos(\omega_0 t+\varphi_0)=\omega_0^2 x(t) $

$ \omega= 2 \pi \nu $

$ T_{spring} = 2 \pi \sqrt {\frac {m} {k}} $

$ T_{pendulum} = 2 \pi \sqrt {\frac {l} {g}} $

Затухающие колебания. Вынужденные колебания. Резонанс.Править

Колеба́ния — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы. В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием диссипативных(рассеивающих) сил. При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими.. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Физика2 копия

Fтр.(обозначим её за J)=$ \mu m g $

$ ~\underset {J} {\underleftarrow {\boxdot}}\xrightarrow {F} $

Колебания1 $ \begin{cases} \dot x >0, & m \dot x =-kx- \mu mg \\ \dot x >0, & m \dot x =-kx+ \mu mg \end{cases} $


Если что, $ \omega_0^2 $ -это $ \frac {k}{m} $ для пружины и $ \frac {g} {l} $ для маятника. $ \begin{cases} \dot x >0, & \ddot x =-\omega^2(x-x_0) \\ \dot x >0, & \ddot x =-\omega^2(x+x_0) \end{cases} $ Из этого следует, что $ x_0=-\frac {\mu gm}{k} $ Тело поедет, когда $ \left| {J} \right| < \left| {x} \right| $ т.е. $ |\frac {\mu mg} {k}| < |x| $


Жёлтая зона называется зоной застоя.Если $ \dot x = 0 $ в зоне застоя-то движнение прекращается.

a=$ -\frac {\mu m g} {k} $ b=$ \frac {\mu m g} {k} $

Сила трения в вязкой среде при малых скоростях $ \approx -\beta Vdx $

Работа силы трения на $ dx = - \beta Vdx =-\beta \frac{dx} {dt} dx =- \beta (\frac {dx} {dt})^2 dt = - \beta V^2dt $

Всего за 2 стр
Физика2 копия копия
аницы вычислений из этого можно вывести, что $ \frac {V_2} {V_1} = \exp^{-\frac {\beta T} {2m}} $

=>Начальная и конечная скорости находятся в экспаненциальной зависимости, поэтому

$ x = A \exp^{-\frac {\beta T} {2m}}\cos \omega t $


Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.


Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды— это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания. Резонанс— явление, заключающееся в том, что при некоторой частоте вынуждающей силы колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие этой силы. Степень отзывчивости в теории колебаний описывается величиной, называемой добротность.(Простейший пример - качели, струны)