ФЭНДОМ


Определение поля (матан) Править

Полем называется упорядоченная шестёрка вида $ (\mathbb R, +, \cdot, \leq, 0, 1) $, где:

  • $ \mathbb R $ - некоторое множество
  • $ + $ и $ \cdot $ - функции $ \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R $
  • $ \leq $ - отношение порядка (не помню, какого именно, кто помнит, исправьте)
  • $ 0 $ и $ 1 $ - выделенные элементы из $ \mathbb R $

Аксиомы полей Править

  1. Аксиомы сложения
    1. Коммутативность
    2. Ассоциативность
    3. Нуль - нейтральный элемент
    4. Существование обратного, обозначаемого как $ (-x) $
  2. Аксиомы умножения
    1. Коммутативность
    2. Ассоциативность
    3. Единица - нейтральный элемент
    4. Существование обратного у всех, кроме нуля, обозначаемого как $ x^{-1} $
  3. Дистрибутивность
  4. Аксиомы порядка
    1. Рефлексивность
    2. Антисимметричность ($ \forall x, y \in \mathbb R \ x \leq y \bigwedge y \leq x \Rightarrow x = y $)
    3. Транзитивность
  5. Линейность$ \forall x, y \in \mathbb R \ x \leq y \bigvee y \leq x $
  6. Связь арифметических действий с отношением порядка ($ x < y \Leftrightarrow x \leq y \bigwedge x \neq y $)
    1. Со сложением: $ \forall x, y, z \in \mathbb R \ x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z $
    2. С умножением: $ \forall x, y, z \in \mathbb R x \leq y \bigwedge 0 < z \Rightarrow xz \leq yz $
  7. Возможность исчерпать отрезок: $ \forall a, b > 0 \exists n \in \mathbb N \ na \geq b $
  8. Левый способ ввести иррациональные числа ($ A \triangleleft B \overset {def} \Leftrightarrow \forall x \in A \forall y \in B \ x < y $): $ \forall A, B \subseteq \mathbb R \ A, B \neq \varnothing \ A \triangleleft B \Rightarrow \exists \xi \in \mathbb R \ \forall x \in A \forall y \in B x < \xi < y $

Теперь немного о названиях.

Что выполнено Как называется
1 2 3 Поле
1 2.2 3 Кольцо
1 2.1 2.2 3 Коммутативное кольцо
1 2.1 2.2 2.3 3 Коммутативное кольцо с единицей
1 - 4 Частично упорядоченное поле
1 - 6 Вполне упорядоченное поле
1 - 7 Архимедово вполне упорядоченное поле
1 - 8 Полное архимедово вполне упорядоченное поле

Примечание: иногда в определении кольца не требуют ассоциативности умножения.

Теоремы полей Править

Теорема: в поле существует аннулятор для умножения, являющийся также нейтральным элементом для сложения.

$ 0 + 0x = 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x $

Теорема: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$ \forall x, y \in \mathbb R \ xy = 0 \Leftrightarrow x = 0 \bigvee y = 0 $

Пусть $ x \neq 0 $, докажем, что тогда $ y = 0 $.

$ x \neq 0 \Rightarrow \exists x^{-1} \in \mathbb R, x^{-1} \neq 0 $

$ y = 1y = (xx^{-1})y = (xy)x^{-1} = 0x^{-1} = 0 $

Упорядоченное поле Править

Определение Править

Поле вида $ (K, +, \cdot, 0, 1) $ называется упорядоченным, если во множестве $ K $ существует подмножество $ P \subseteq K, P \neq \varnothing $, причём выполняются следующие аксиомы:

  1. $ \forall x, y \in P \ x + y \in P $
  2. $ \forall x, y \in P \ xy \in P $
  3. $ \forall x \in K \ x \in P\; ||\; x = 0\; ||\; -x \in P $

(* || - взаимоисключающее или *)

Тогда множество $ P $ называется множеством положительных элементов поля $ K $.

Если $ -x \in P $, тогда $ x $ называется отрицательным; множество отрицательных элементов обозначается как $ N $. Тогда аксиома (3) перепишется следующим образом:

$ \forall x \in K \ x \in P\; ||\; x = 0\; ||\; x \in N $

Заметим, что $ x \in N \Rightarrow -x \in P $.

Свойства Править

1 $ \forall x \in P \forall y \in N \ xy \in N $

$ \begin {matrix} \phi\ x \in P, y \in N \\ -y \in P \\ x(-y) \in P \\ -(xy) \in P \\ xy \in N \end {matrix} $

2 $ \forall x, y \in N \ xy \in P $

$ \begin {matrix} \phi\ x, y \in N \\ -x \in P \\ -y \in P \\ (-x)(-y) \in P \\ xy \in P \end {matrix} $

3! $ \forall x \in K x \neq 0 \Rightarrow x^2 \in P $

$ \begin {matrix} \phi\ x \in K, x \neq 0 \\ x \in P \oplus x \in N \\ x \in P \ x^2 = xx \in P \\ x \in N \ x^2 = xx \in P \end {matrix} $

Неравенства в упорядоченном поле Править

  • $ x < y \overset {def} \Leftrightarrow y - x \in P $
  • $ x \leq y \overset {def} \Leftrightarrow x < y \bigvee x = y $
  • $ x > y \overset {def} \Leftrightarrow y < x $
  • $ x \geq y \overset {def} \Leftrightarrow y \leq x $

Транзитивность Править

Теорема:

$ \forall x, y, z \in K \ x < y \bigwedge y < z \Rightarrow x < z $

$ \phi\ x, y, z \in K $

$ + \begin {cases} x < y \Rightarrow y - x \in P \\ y < z \Rightarrow z - y \in P \end {cases} $

$ z - x \in P \Rightarrow x < z $

Аналогично доказываются клоны, просто там будет разбор случаев.

Обобщённая теорема:

$ \forall x_1 \dots x_n \in K $

$ x_1 \leq x_2 \bigvee x_2 \leq x_3 \bigvee \dots \bigvee x_{n-1} \leq x_n \Rightarrow x_1 \leq x_n $

Доказывается по индукции. База, $ n = 3 $:

$ x_1 \leq x_2 \bigvee x_2 \leq x_3 \Rightarrow x_1 \leq x_3 $

  1. $ x_1 = x_2 \Rightarrow x_1 \leq x_3 $
  2. $ x_1 < x_2 \Rightarrow x_1 < x_3 \Rightarrow x_1 \leq x_3 $

Переход, $ n = k $:

$ x_1 \leq x_2 \bigvee x_2 \leq x_3 \bigvee \dots x_k \leq x_{k+1} \Rightarrow x_1 \leq x_{k+1} $

Из первых $ k-1 $ неравенств следует, что $ x_1 \leq x_k $, а из этого следует, что $ x_1 \leq x_{k+1} $.