ФЭНДОМ


Определение Править

Пусть дана функция $ f \colon \mathbb R \to \mathbb R $. Тогда её производной будет называться функция $ f' \colon \mathbb R \to \mathbb R $:

$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) - f(x)} {\Delta x} $

Существуют эквивалентные способы обозначения производной: $ x'(t) = \dot x = \frac {dx} {dt} $.

Физический смысл производной - мгновенная скорость, геометрический - тангенс угла наклона касательной.

Правила дифференцирования Править

$ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $

$ (f(x) \cdot g(x))' = f(x) \cdot g'(x) + f'(x) \cdot g(x) $

$ (\frac {f(x)} {g(x)})' = \frac {f(x) \cdot g'(x) - f'(x) \cdot g(x)} {g^2(x)} $

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Простейшие производные Править

$ const' = 0 $

$ x' = 1 $

$ (x^n)' = nx^{n-1} $

$ (e^x)' = e^x $

$ \sin' x = \cos x $

$ \cos' x = - \sin x $

$ \tan' x = \frac 1 {\cos^2 x} $

$ \cot' x = - \frac 1 {\sin^2 x} $

Интегрирование Править

Интегрированием называется процесс восстановления функции по её производной, то есть процесс, обратный дифференцированию. Результат восстановления называется интегралом.

Интеграл функции $ f(x) $ на отрезке $ [a; b] $ обозначается как $ \int \limits_a^b f(x) \, dx $. Интеграл на всей области определений функции обозначается как $ \int f(x) \, dx $.

Так как $ const' = 0 $, то $ \int 0 $ может быть любой константой, следовательно, он однозначно не определён.

А так как $ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $, то $ \int f'(x) \pm g(x) = f(x) \pm g(x) $. Функция $ g(x) $ может быть нулём, следовательно, интеграл любой функции однозначно не определён. Поэтому $ \int f'(x) = f(x) + const $.