ФЭНДОМ


Номер Название
1 Определение алгебры ($ \sigma $-алгебры), $ \sigma $-алгебра, порождённая $ F $. Борелевская $ \sigma $-алгебра. Примеры.
2 Кольцо множеств. Полукольцо. Теорема о порождении кольца из полукольца. Примеры.
3 Аддитивная, счётно-аддитивная функции множества. Теорема об эквивалентном условии счётной аддитивности. Примеры.
4 Свойства неотрицательной аддитивной функции.
5 Теорема о продолжении меры с полукольца на кольцо.
6 Определение компактного класса множеств. Достаточное условие счётной аддитивности.
7 Регулярность борелевской меры.
8 Внешняя мера. Определение измеримого множества. Счётная полуаддитивность внешней меры.
9 Теорема о продолжении меры с алгебры на $ \sigma $-алгебру измеримых множеств. Пункты 1 и 2.
10 Пункты 3 и 4.
11 Определение меры Лебега в $ \mathbb R^n $ (схема).
12 Эквивалентные условия измеримости.
13 Теорема об определении $ \sigma $-конечной меры на $ X $.
14 Свойства меры Лебега в $ \mathbb R^n $.
15 Теорема Витали о покрытиях.
16 Теорема Лебега о точках плотности.
17 Определение измеримой функции. Свойства измеримых функций.
18 Теорема о приближении измеримых функций простыми.
19 Теорема Егорова.
20 Сходимость по мере. Сходимость почти всюду влечёт сходимость по мере.
21 Теорема Рисса.
22 Теорема о приближении измеримой функции непрерывными.
23 Теорема Лузина.
24 Интегралы от простых функций. Корректность и свойства.
25 Фундаментальность в $ L^1(\mu) $. Теорема о фундаментальной последовательности простых функций.
26 Определение и корректность интеграла.
27 Свойства интеграла.
28 Эквивалентные условия интегрируемости.
29 Неравенство Чебышова.
30 Определение интеграла на пространстве с $ \sigma $-конечной мерой. Эквивалентное условие интегрируемости.
31 Условие интегрируемости на языке рядов.
32 Условие интегрируемости (функция распределения).
33 Полнота $ L^1(\mu) $.
34 Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
35 Теорема Леви о монотонной сходимости.
36 Теорема Фату.
37 Теорема Янга.
38 Пример неизмеримого множества.