ФЭНДОМ


Приходится нарушать собственные правила, но ничего не поделаешь, аврал.

В определении написано, что p > 1, однако рядом же рассматриваются случаи, когда p = -1. p = 1, p -> 0... WTF?]


Ну сначала мы говорим, что такое среднее степенное, а потом заявляем, что ср.ст. (при разумном обобщении) описывает все нам известные средние

P.S.: в бан тебя!!!

ОпределениеПравить

p > 1 0<$ a_1 \le \dots \le a_n $

$ C_p $ = $ (\frac {a_1^p + \dots + a_n^p} n)^\frac 1 p $ - среднее степенное

если p=-1 $ C_p $ =$ H_n $

если p->0 $ C_p $=$ G_n $

если p=2 $ C_p $=$ Q_ n $

если p=1 $ C_p $=$ A_n $

ТеоремaПравить

$ p \ge q \in N $ > 1 $ \Rightarrow $ $ \forall $ $ a_1 \dots a_n $ > 0 $ C_p \ge C_q $

ЛеммаПравить

$ \forall $ $ a \ge 1 $ & p > q $ \in $ N $ \Rightarrow $ $ a ^ \frac p q \ge \frac p q * a - \frac p q + 1 $

Доказательство:

$ \frac p q > 1 $ , т.к p> q

q* $ a ^ \frac p q \ge pa - p + q $

q*$ a^\frac p q + (p-q) \ge pa $

$ \frac {q * a^\frac p q + (p-q)} p \ge a $

$ \frac {q * a^\frac p q + (p-q)} p $ = $ A_n $ a = $ G_n $

Доказательство ТеоремыПравить

  1. p = q - очевидно
  2. p > q

$ C_p $ = $ (\frac {a_1^p+\dots+a_n^p} n) ^ \frac 1 p $=$ C_q $$ (\frac {\frac {a_1^p} {C_q^p} +\dots+\frac {a_n^p} {C_q^p}} n)^\frac 1 p $=$ C_q $$ (\frac {(\frac {a_1^q} {C_q^q})^\frac p q +\dots+ (\frac {a_n^q} {C_q^q})^\frac p q} n)^\frac 1 p $$ \ge $(вспомним лемму и преобразуем каждое слагаемое вида $ (\frac {a_i^q} {C_q^q})^\frac p q $ ) $ \ge $$ C_q $$ (\frac {\frac p q * \frac {a_1^q} {C_q^q} - \frac p q +1 \dots+\frac p q*\frac {a_n^q} {C_q^q} - \frac p q+1} n ) ^ \frac 1 p = $$ C_q $$ (\frac {\frac p q * \frac {a_1^q+\dots+a_n^q} {C_q^q} - \frac p q*n+n} n)^\frac 1 p = $$ C_q $$ ( \frac {\frac p q * \frac {a_1^q+\dots+a_n^q} {C_q^q}} n - \frac p q + 1)^\frac 1 p= $$ C_q $$ ( \frac {\frac p q * \frac {nC_q^q} {C_q^q}} n - \frac p q + 1)^\frac 1 p=C_q $

Что и требовалось доказать.

Сделано Великим Русланом