ФЭНДОМ


Определение Править

Средним для двух чисел $ a, b \in \mathbb R $ называется любое число $ c \in [a; b] $. Нетрудно догадаться, что на случай $ n $ чисел вместо $ a $ и $ b $ будут минимум и максимум соответственно.

Мы будем рассматривать средние величины только для неотрицательных чисел.

Рассмотрим некоторые классические средние:

$ A_2 = \frac {a + b} 2 $ - среднее арифметическое

$ G_2 = \sqrt {ab} $ - среднее геометрическое

$ Q_2 = \sqrt {\frac {a^2 + b^2} 2} $ - среднее квадратическое

$ H_2 = \frac 2 {\frac 1 a + \frac 1 b} = \frac {2ab} {a + b} $ - среднее гармоническое

$ ? $ - среднее степенное

Отметим, что среднее гармоническое не определено, если хотя бы одно из чисел $ a $ и $ b $ равно нулю.

Очевидно, что все средние нетрудно определить и для $ n $ чисел.

Взаимоотношения Править

Теорема: средние находятся в следующих взаимоотношениях:

$ min (a, b) \leq H_2 \leq G_2 \leq A_2 \leq Q_2 \leq max (a, b) $

Пусть, не умаляя общности, $ a \leq b $.

  1. $ a = \frac {2ab} {2b} \leq \frac {2ab} {a + b} $
  2. $ \frac 2 {\frac 1 a + \frac 1 b} \leq \sqrt {ab} \Leftrightarrow \sqrt {\frac 1 a \frac 1 b} \leq \frac {\frac 1 a + \frac 1 b} 2 $, см. п. 3
  3. $ \sqrt {ab} \leq \frac {a + b} 2 \Leftarrow 4ab \leq (a + b)^2 \Leftarrow (a - b)^2 \geq 0 $
  4. $ \frac {a + b} 2 \leq \sqrt {\frac {a^2 + b^2} 2} \Leftarrow \frac {a^2 + 2ab + b^2} 2 \leq \frac {a^2 + b^2} 2 \Leftarrow 2ab \leq a^2 + b^2 $
  5. $ \sqrt {\frac {a^2 + b^2} 2} \leq \sqrt{\frac {2b^2} 2} = b $

Неравенство Коши о средних Править

Неравенством Коши о средних называется следующее неравенство:

$ \sqrt [n] {\prod_{i=1}^n a_i} \leq \frac {\sum_{i=1}^n a_i} n $, также записывается как $ G_n \leq A_n $

Доказательство прямой индукцией Править

База доказана уже неоднократно. Докажем переход: $ G_n \leq A_n \Rightarrow G_{n+1} \leq A_{n+1} $.

$ \phi\ a_1 \dots a_{n+1} \in \mathbb R^+ $

Отсортируем этот набор по возрастанию. Нам уже известно, что для первых $ n $ чисел из набора неравенство верно. Для доказательства правильности неравенства для набора из $ n+1 $ числа введём вспомогательное число $ \alpha $:

$ +\begin {cases} a_{n+1} \geq a_1 \\ a_{n+1} \geq a_2 \\ \dots \\ a_{n+1} \geq a_n \end {cases} $

$ na_{n+1} \geq \sum_{i=1}^n a_i $

$ a_{n+1} \geq A_n $

$ a_{n+1} = A_n + \alpha, \alpha \geq 0 $

$ A_{n+1} = \frac {\sum_{i=1}^{n+1} a_i} {n+1} = \frac {nA_n + a_{n+1}} {n+1} = \frac {(n+1)A_n + \alpha} {n+1} = A_n + \frac \alpha {n+1} $

$ A_{n+1}^{n+1} = (A_n + \frac \alpha {n+1})^{n+1} = A_n^{n+1} + C_{n+1}^1 A_n^n \frac \alpha {n+1} + \dots + (\frac \alpha {n+1})^{n+1} \geq A_n^{n+1} + A_n^n \alpha = A_n^n a_{n+1}\geq G_n^n a_{n+1} = G_{n+1}^{n+1} $

$ A_{n+1} \geq G_{n+1} $

($ C_n^m = \frac {n!} {m!(n-m)!} $)