Гидродинамика

Идеальная жидкость

В гидродинамике идеальная жидкость — воображаемая (идеализированная) жидкость, в которой, в отличие от реальной жидкости, отсутствуют вязкость и теплопроводность. В идеальной жидкости отсутствует внутреннее трение, то есть, нет касательных напряжений между двумя соседними слоями. Кроме того, она несжимаема.

Моделью идеальной жидкости пользуются при теоретическом рассмотрении задач, в которых вязкость не является определяющим фактором и ею можно пренебречь. В частности, такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений идеальных жидкостей позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел.

Уравнение неразрывности струи

Введём некоторые дополнительные определения:

• Линия тока - линия, в каждой точке которой скорость частиц направлена по касательной.
• Трубка тока - часть пространства, ограниченная линиями тока.
• Стационарный поток - поток, в котором скорости частиц в каждой точке не меняется со временем.

Выберем такую трубку тока, что во всех точках любого её сечения скорости частиц жидкости одинаковы. Тогда за время $t$ через сечение $S$ пройдёт масса воды:

$m=\rho VSt$

В стационарном потоке масса $m$ одна и та же для любого сечения выбранной трубки тока:

$\rho _{1}V_{1}S_{1}t=\rho _{2}V_{2}S_{2}t$

Так как мы рассматриваем несжимаемую жидкость, $\rho _{1}=\rho _{2}$:

$V_{1}S_{1}=V_{2}S_{2}$

Это уравнение получило название уравнения неразрывности и справедливо для любой выбранной трубки тока.

Уравнение Бернулли.

Идеальной жидкостью называется жидкость, внутренним трением которой можно пренебречь либо оно отсутствует.

Для идеальной жидкости аналог закона сохранения жидкости - уравнение Бернулли. Выведем его.

Рассмотрим некоторую трубку тока и часть жидкости, расположенную между поперечными сечениями этой трубки $S_1$ и $S_2$, расположенными на высотах $h_1$ и $h_2$ соответственно. Пусть за некоторый промежуток времени $t$ она перешла в положение между сечениями $S_{1}'$ и $S_{2}'$ (высоты $h_{1}'$ и $h_{2}'$ соответственно). При достаточно малом $t$ разница между $S_1$ и $S_{1}'$, $S_2$ и $S_{2}'$, $h_1$ и $h_{1}'$, $h_2$ и $h_{2}'$ незначительна.

Найдём работу внешних сил за этот промежуток времени $t$. Давление сбоку, на стенки трубы, не совершает работы, т.к. не влияет на перемещение частиц (поток движется перпендикулярно). Так что единственные внешние силы, совершающие работу - давление на сечения $S_1$ и $S_2$. На сечение $S_1$ давит часть жидкости трубы, предшествующая выделенной нами; на сечение $S_2$ давит часть жидкости трубы, находящаяся непосредственно ниже течения.

Далее, работа силы давления равна $p_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t$ для $S_1$. Здесь $p_{1}S_{1}$ - это сила давления, ${\it {V_{1}}}t$ - расстояние. Аналогично, для $S_2$ сила давления равна $-p_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t$; здесь значение берётся со знаком минус потому, что направление противоположно течению.

Итак, общая работа внешних сил вычисляется следующим образом:

$A=p_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t-p_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t$.

Теперь вычислим изменение энергии системы. Поскольку поток стационарен, между сечениями $S_{1}'$ и $S_2$ энергия не изменяется: здесь жидкость "остаётся". Поэтому изменение энергии вычисляется как разность энергии между сечениями $S_2$ и $S_{2}'$ и энергии между сечениями $S_1$ и $S_{1}'$.

$\Delta E=E_{2}-E_{1}$

Вычислим энергию в части жидкости между сечениями $S_2$ и $S_{2}'$. Общая энергия жидкости в этой части будет равна сумме потенциальной и кинетической. Потенциальная энергия равна $\rho gh_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t$. Здесь $\rho gh_{2}S_{2}$ - произведение давления $\rho gh_{2}$ на площадь $S_2$, т.е. сила, действующая на сечение $S_2$; а ${\it {V_{2}}}t$ - это расстояние, на которое жидкость сдвинулась. Теперь вычислим потенциальную энергию жидкости , располагающейся между $S_2$ и $S_{2}'$. Она будет равна ${\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}}}S_{2}t{\it {V_{2}^{2}}}$. Тогда полная энергия жидкости, заключённой между сечениями $S_2$ и $S_{2}'$, будет равна

$E_{2}=E_{K}+E_{p}={\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}}}S_{2}t{\it {V_{2}^{2}}}+\rho gh_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t$

Аналогично, энергия жидкости, расположенной между сечениями $S_1$ и $S_{1}'$, будет равна

$E_{1}=E_{K}+E_{p}={\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}}}S_{1}t{\it {V_{1}^{2}}}+\rho gh_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t.$

Тогда изменение внутренней энергии будет вычисляться по формуле

$\Delta E=E_{2}-E_{1}={\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}}}S_{2}t{\it {V_{2}^{2}}}+\rho gh_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t-{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}}}S_{1}t{\it {V_{1}^{2}}}-\rho gh_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t$

Известно, что изменение внутренней энергии равно работе внешних сил, т.е.

$A=\Delta E$

Раскроем значения и получим формулу

$p_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t-p_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t={\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}}}S_{2}t{\it {V_{2}^{2}}}+\rho gh_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t-{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}}}S_{1}t{\it {V_{1}^{2}}}-\rho gh_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t$

Попереносим и получим

$p_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}}}S_{1}t{\it {V_{1}^{2}}}+\rho gh_{1}S_{1}{\it {V_{1}}}t=p_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}}}S_{2}t{\it {V_{2}^{2}}}+\rho gh_{2}S_{2}{\it {V_{2}}}t$

Теперь поделим обе части равенства на t и вспомним, что, по уравнению неразрывности, $V_{1}S_{1}=V_{2}S_{2}$. Получим

$p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}^{2}}}=p_{1}+\rho gh_{2}+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{2}^{2}}}$

Это и есть уравнение Бернулли.

Заметим, что при выводе этой формулы мы пользовались тем, что разница между $S_1$ и $S_{1}'$, $S_2$ и $S_{2}'$ незначительна, а именно равна нулю. Поэтому уравнение Бернулли верно для трубки тока с бесконечно малым сечением; проще говоря, оно верно для линии тока.

Формула Торричелли

Рассмотрим широкий сосуд, заполненный жидкостью, с отверстием на глубине $h$. С какой скоростью вытекает жидкость из этого отверстия?

Воспользуемся уравнением Бернулли. Рассмотрим линию тока, начинающуюся где-то на поверхности и заканчивающуюся в отверстии. За точку отсчёта высот возьмём отверстие. Напишем уравнение Бернулли для этой линии тока:

$p_{1}+\rho gh+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}^{2}}}=p_{2}+\rho g\cdot 0+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V^{2}}}$

Здесь $p_1$ - атмосферное давление на эту линию тока. Разница между ним и $p_2$ незначительна, и её можно пренебречь. Получим

$\rho gh+{\frac {1}{2}}\rho {\it {V_{1}^{2}}}={\frac {1}{2}}\rho {\it {V^{2}}}$

Заметим, что скорость ${\it {V_{1}}}$ равна нулю, поскольку это скорость жидкости на самой поверхности.

$\rho gh={\frac {1}{2}}\rho {\it {V^{2}}}$

Отсюда получаем ${\it {V}}={\sqrt {2gh}}$. Это и есть формула Торричелли.

Вязкость

Вя́зкость (вну́треннее тре́ние) — одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате работа, затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей — это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Различают динамическую вязкость (единица измерения в Международной системе единиц (СИ) — Па·с, в системе СГС — пуаз; 1 Па·с = 10 пуаз) и кинематическую вязкость (единица измерения в СИ — м²/с, в СГС — стокс, внесистемная единица — градус Энглера). Кинематическая вязкость может быть получена как отношение динамической вязкости к плотности вещества и своим происхождением обязана классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного объёма через калиброванное отверстие под действием силы тяжести. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром.

Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 10¹¹−10¹² Па·с.

Эффект Магнуса

Эффект Магнуса — физическое явление, возникающее при обтекании вращающегося тела потоком жидкости или газа. Образуется сила, воздействующая на тело и направленная перпендикулярно направлению потока. Это является результатом совместного воздействия таких физических явлений, как эффект Бернулли и образования пограничного слоя в среде вокруг обтекаемого объекта.

Вращающийся объект создаёт в среде вокруг себя вихревое движение. С одной стороны объекта направление вихря совпадает с направлением обтекающего потока и, соответственно, скорость движения среды с этой стороны увеличивается. С другой стороны объекта направление вихря противоположно направлению движения потока, и скорость движения среды уменьшается. Ввиду этой разности скоростей возникает разность давлений, порождающая поперечную силу от той стороны вращающегося тела, на которой направление вращения и направление потока противоположны, к той стороне, на которой эти направления совпадают.

Подъемная сила

Подъёмная сила — составляющая полной аэродинамической силы, перпендикулярная вектору скорости движения тела в потоке жидкости или газа, возникающая в результате несимметричности обтекания тела потоком. Полная аэродинамическая сила — это интеграл от давления вокруг контура профиля крыла.