ФЭНДОМ


Законы Ньютона. Править

Основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона.

К выводу о существовании явления инерции впервые пришел Галилей, а затем Ньютон. Этот вывод формулируется в виде первого закона Ньютона (закона инерции): существуют такие системы отсчета(инерциальные), относительно которых тело (материальная точка) при отсутствии на нею внешних воздействий (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) устанавливает связь между ускорением, с которым движется материальная точка, в инерциальной системе отсчета, и действующими на нее силами. Каждая из сил F1, F2, ...,Fn, приложенных к материальной точке, сообщает ей такое ускорение, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил):


ai=Fi/m.Результирующее ускорение точки, находящейся под действием нескольких сил, равно геометрической сумме отдельных ускорений , сообщаемых каждой силой в отдельности. Величина и направление ускорения таковы, как если бы на точку действовала одна сила, равная векторной сумме приложенных сил:

F=SFi= Smai= mSai=ma.

В этих формулах m - масса тела. Вообще, масса тела есть мера его инерции. Величина массы данного тела определяется как отношение силы к ускорению, которая она сообщает телу.

Третий закон связывает между собой силы, с которыми тела действуют друг на друга, а именно: силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

При этом необходимо обратить внимание на следующее: Силы всегда возникают парами. Если есть одна, то есть и другая, ей противоположная.

Вес тела. Невесомость. Перегрузка Править

ОпределенияПравить

Весом тела называтся сила, действующая на его опору, возникающая в поле силы тяжести.

Невесомостью называется состояние отсутствия у тела веса (далее этот пункт будент пояснен).

Перегрузкой называется отношение абсолютной величины линейного ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли. $ \frac {\overrightarrow {a}} {{\overrightarrow {g}}} $

Вес тела и невесомостьПравить

Рассмотрим ситуацию, когда тело неподвижно лежит на жесткой опоре, параллельной поверхности Земли. На него действует сила тяжести и сила нормальной реакции опоры (сила упругости, с которой опора действует на тело, и т.к. она жесткая эта сила равна силе тяжести по модулю и противоположна по направлению). Тогда по третьему закону Ньютона, если опора действует на тело, то и тело в свою очередь действует на опору с такой же по модулю силой, но обратной по направлению. Эта сила и называется весом тела. Ее не следует путать с силой тяжести, т.к. эти силы приложены к разным телам.

Рассмотрим ситуацию, когда тело неподвижно лежит на мягкой жесткой опоре, находящейся под углом к поверхности Земли. На него действует сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. По второму закону Ньютона все силы, действующие на это тело уравновешивают друг-друга, и, т.к. сила реакции опоры направлена перпендикулярно собственно опоре, то она не уравновешивает силу тяжести. Возникает сила трения покоя. По третьему закону Ньютона, если опора действует на тело, то и тело в свою очередь действует на опору с такой же по модулю силой, но обратной по направлению. По модулю она равна произведению силы тяжести на косинус угла между опорой и поверхностью Земли.$ N=\overrightarrow {F_\text {тяж.}}cos\alpha $

Рассмотрим теперь случай, когда тело лежит на опоре в кабине лифта, движущейся с некоторым ускорением относительно Земли. Система отсчета, связанная с лифтом, не является инерциальной. На тело по-прежнему действуют сила тяжести и сила реакции опоры, но теперь эти силы не уравновешивают друг друга. По второму закону Ньютона векторная сумма всех сил (т.е. силы тяжести и силы реакции опоры), действующих на это тело, есть произведение массы на ускорение $ m\overrightarrow {a} $.

Иначе: сила реакции опоры есть произведение массы на разность ускорения свободного падения и ускорения лифта относительно земли.$ N=m(\overrightarrow {g}-\overrightarrow {a}) $

Тогда, поскольку модули силы реакции опоры и веса тела совпадают, распишем предыдущую формулу в скалярном виде для веса, предварительно направив ось ординат вертикально вниз. $ P=m(g-a) $

Тогда ускорение свободного падения и собственное ускорение лифта будут положительны.

Будем рассматривать случаи:

  • Когда a<g, вес тела в ускоренно движущемся лифте меньше силы тяжести ('отрицательный вес') - тело прижимается к полу лифта
  • Когда a>g, вес тела в ускоренно движущемся лифте больше силы тяжести - тело прижимается к потолку лифта.
  • Когда a=g, вес тела обращается в ноль. Тело свободно падает на Землю вместе с кабиной. Такое состояние называется невесомостью.

Законы Кеплера Править

ВступлениеПравить

С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям. Первая попытка создания модели Вселенной была предпринята Птолемеем. В центре мироздания Птолемей поместил Землю, вокруг которой по большим и малым кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды.

Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника. В системе Коперника траектории планет оказались более простыми. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы, названных законами Кеплера.

Первый закон КеплераПравить

Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Ближайшая к Солнцу точка траектории называется перигелием, точка наиболее удаленная от Солнца – афелием. Расстояние между афелием и перигелием – большая ось эллипса.

Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым.

Второй закон КеплераПравить

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса.

Третий закон КеплераПравить

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

$ \frac {T_1^2} {T_2^2}=\frac {(1/2bigaxis_1 )^3} {(1/2bigaxis_2 )^3} $

Вывод Ньютона.Править

При движении тела по эллипсу (приблизим его к окружности) возникает центростремительное ускорение.

Рассмотрим отношение центоростемительных ускорений двух планет, и получим, что оно равно отношению квадратов радиусов их орбит.

$ a_{centr}=\frac {V^2} {R} $

$ V = \omega R $

$ \omega = 2 \pi \nu $

$ \nu=\frac {1} {T} $

Поэтому $ \frac {\omega_1} {\omega_2}=\frac {T_2} {T_1} $

Рассмотрим отношение центоростемительных ускорений двух планет:

$ \frac {a_{centr1}} {a_{centr1}}=\frac {\omega_1^2R_1} {\omega_2^2R_2}=\frac {T_2^2} {T_1^2}\cdot\frac {R_1} {R_2}=\frac {R_2^3} {R_1^3}\cdot\frac {R_1} {R_2}=\frac {R_2^2} {R_1^2} $

Законы сохранения... Править

Закон сохранения импульсаПравить

ВступлениеПравить

В результате действия силы на тело (материальную точку) возникает ненулевое ускорение, равное $ \frac {\overrightarrow F} m $. Также $ \overrightarrow a = \frac {\Delta \overrightarrow V} {\Delta t} $. Приравняем эти отношения: $ \frac {\overrightarrow F} m = \frac {\Delta \overrightarrow V} {\Delta t} $. Зная, что изменение скорости есть разность начальной и конечной скоростей, получим, что $ \overrightarrow F\Delta t = m \overrightarrow V_{beg} - m \overrightarrow V_{end} $. Каждое из таких произведений называется импульсом тела или количеством движения. Отношение импульса ко времени называется скоростью изменения импульса, и равно равнодействующей всех сил, действующих на тело в данный промежуток времени.

$ \frac {\Delta \overrightarrow P} {\Delta t} = \sum_{i=1}^n \overrightarrow {F_i} $

Полным импульсом системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных ее частей в одно и то же время.

$ \overrightarrow P_{full} = \sum_{i=1}^n \overrightarrow {P_i} $

Закон изменения импульса Править

Скорость изменения импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на тело в данный промежуток времени.

$ \frac {\overrightarrow P} t = \sum_{i=1}^n \overrightarrow {F_i} $

Отсюда следует, что, если результирующая всех сил, действующих на тело, равна нулю (т.е. они друг-друга компенсируют), то импульс данной системы остается неизменным. (закон сохранения импульса в замкнутой системе).

$ \sum_{i=1}^n \overrightarrow {F_i} = 0 \Rightarrow \overrightarrow P = const $

Система замкнутая, если для всех ее тел взаимодействия с внешними телами отсутствуют или скомпенсированы.

'Абсолютные' ситуации Править

Абсолютно упругий ударПравить

Рассмотрим задачу: два шара разных известных масс двигаются с известными постоянными скоростями и сталкиваются, один шар отлетает с известной скоростью; найти скорость второго шара после столкновения, если трение с поверхностью равно нулю.

Из условия ясно, что система замкнута: на каждый шар действуют только сила тяжести и сила реакции опоры, которые друг друга компенсируют; других сил нет (либо они скомпенсированы друг с другом, что является по сути тем же самым), т.к. ускорение отсутствует. По закону сохранения импульса в замкнутой системе находим импульс системы после столкновения и решаем уравнение с одним неизвестным.

$ m_1 V_1 + m_2 V_2 = m_1 V_3 + m_2 V_x $

Абсолютно неупругий удар Править

Рассмотрим задачу: с известной постоянной скоростью летит пуля известной массы и застревает в тележке с песком известной массы; требуется найти скорость системы после столкновения, если трения с поверхностью у тележки нет; сопротивлением воздуха и силой тяжести пули во время полета пренебречь.

Из условия ясно, что система замкнута: на систему действуют только сила тяжести и сила реакции опоры, которые друг друга компенсируют; других сил нет (либо они скомпенсированы друг с другом, что является по сути тем же самым), т.к. ускорение отсутствует. По закону сохранения импульса в замкнутой системе находим импульс системы после столкновения и решаем уравнение с одним неизвестным. Задача отличается от предыдущей тем, что после столкновения получается не два тела, а одно.

$ m_1 V_1 + m_2 V_2 = (m_1 + m_2) V_x $

Закон сохранения механической энергииПравить

ФормулировкаПравить

Закон можно описать несколькими предложениями:

  • Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.$ U + K = const $
  • Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.$ E = U + K $
  • В замкнутой системе энергия ниоткуда не возникает, никуда не исчезает и остается постоянной во времени, только меняя свою форму.

По сути они означают одно и тоже: первые два абсолютно идентичны, т.к.сумму кинетической и потенциальной энергии называют полной механической энергией тел $ E_{full} = U + K $, а третье есть обобщение предыдущих (они справедливы только для механических процессах).

Каждое из этих предложений справедливо только в случае, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой посредствам только консервативных сил.

Сила называется консервативной, если работа такой силы по замкнутой траектории равна нулю.

Вот еще одно определение: сила консервативная, если ее работа не зависит от формы ее траектории, а зависит только от начальной и конечной точки ее приложения.

ПримечаниеПравить

Далее рекомендуется рассмотреть следующую задачу: шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной L; какую минимальную горизонтально направленную скорость vo надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Решение:

  • Для начала воспользуемся ЗСМЭ при переходе шарика из нижнего положения в верхнее./формула/
  • Далее заметим, что в верхней точке на шарик будут действовать две силы: сила тяжести (направлена вниз) и сила натяжения нити (также направлена вниз, из условия равна нулю). Эти силы сообщают шарику центростремительное ускорение, направленное вниз — к точке подвеса. Тогда отношение произведения массы на квадрат скорости к длине нити есть сила тяжести. /формула/
  • Отсюда квадрат скорости есть произведение ускорения свободного падения на длину нити./формула/
  • Проведем подстановку в формулу из первого пункта, и получим: /формула/
  • Найдем ответ. Скорость равна корню квадратному из упятеренного произведения ускорения свободного падения на длину нии. /формула/

Гравитационное взаимодействие Править

Гравитация - фундаментальное взаимодействие между любыми телами. В классической механике описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который утверждает, что сила притяжения между двумя точками массами m1 и m2, расстояние между которыми r будет равна G*m1*m2/r2, где G - гравитационная постоянная. Для реальных тел целесообразно пользоваться расстоянием между их центрами масс.

Гравитационная постоянная была, предположительно, в первый раз измерена около 1798 года, Генри Кавендишем, при помощи "крутильных весов". По данным на 2014 год, предоставленным Комитетом по данным для науки и техники, G = 6,67408(31)·10−11 м3·с−2·кг−1

Напряжённость гравитационного поля в точке считается как F/m, где m - масса этой точки, а F - сила гравитационного взаимодействия. Если мы совместим эти формулы, то получится g = G*M/r2, где g - ускорение свободного падения для точки или же напряжённость гравитационного поля в точке. g обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра масс тела, напряжённость поля которого мы ищем.