ФЭНДОМ


Определения Править

Работа, совершённая некоторой силой по отношению к какому-либо телу - скалярная величина, равняющаяся произведению вектора этой силы на расстояние, на которое тело переместилось, и на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения тела.

$ A = \vec F S \cos \alpha $

Мощность - отношение работы ко времени (можно говорить, что мощность есть скорость изменения работы):

$ P = \frac A t $

КПД (коэффициент полезного действия) механизма - это отношение полезной работы, совершённой этим механизмом, к общему количеству работы:

$ Q = \frac {A_{efficient}} {A_{total}} $

Это отношение всегда меньше 100% в связи с необходимостью совершать работу на преодоление силы трения и прочих рассеивающих сил.

Кинетическая энергия Править

Рассмотрим тело, на которое действует некоторая сила $ \vec F $, в результате чего оно перемещается на расстояние S. Мы не располагаем никакой дополнительной информацией о теле: действовали ли на него какие-либо другие силы, какова была его траектория, и т.д.

Разобьём всю траекторию движения тела на короткие отрезки $ dS $, на которых можно считать, что тело двигалось равномерно и прямолинейно. Короче говоря, вы догадались: будем интегрировать!

$ A = \int \vec F \cdot dS $

По второму закону Ньютона $ \vec F = \frac {d \vec P} {dt} $. Кроме того, $ dS = \vec V \cdot dt $.

$ A = \int (\frac {d \vec P} {dt} \cdot \vec V \cdot dt) = \int (d \vec P \cdot V) = \int (m dV \cdot V) = m \int (\vec V d \vec V) $

Интеграл, оставшийся в выражении - табличный:

$ \int x^n dx = \frac {x^{n+1}} {n+1} $

$ m \int (\vec V d \vec V) = \frac {m \Delta V^2} 2 $

Таким образом, совершённая работа на участке пути $ S $ зависит только от массы тела и изменения скорости.

Эта формула носит название теоремы о кинетической энергии, а величина численно равная $ \frac {m V^2} 2 $, называется кинетической энергией.

Работа силы по перемещению материальной точки равна приращению кинетической энергии.

Потенциальная энергия Править

  • Центральными силами называются силы, направленные к одной точке, называемой силовым центром, и зависящие только от расстояния до этой точки и от тел, к которым они приложены.
  • Консервативными силами называются силы, зависящие только от координат материальных точек системы, работа которых при переводе системы из произвольного начального положения в произвольное конечное не зависит от пути перехода, а определяется только этими положениями. Сюда относятся все центральные силы, в том числе сила тяжести. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.

Выделим у системы некоторое отдельное состояние и назовём его нулевым. Тогда работа, совершаемая консервативными силами при переводе системы из некоторого рассматриваемого (первого) положения в нулевое называется потенциальной энергией системы в первом положении.

Пусть у системы имеется нулевое положение $ P_0 $. Рассмотрим некоторые положения системы $ P_1 $ и $ P_2 $. Очевидно, что вследствие консервативности сил работа по переводу системы из $ P_1 $ в $ P_0 $ напрямую и через $ P_2 $ одинакова. Следовательно, так как в реальности единого нулевого положения нет, имеет смысл говорить о разности потенциальных энергий.

Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы. Однако, по теореме о кинетической энергии, работа по переводу системы из одного положения в другое равна увеличению кинетической энергии. Следовательно:

$ K_2 - K_1 = U_1 - U_2 $

$ U_1 + K_1 = U_2 + K_2 $

Таким образом, в системе, где действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий (полная механическая энергия) остаётся постоянной. В замкнутой системе происходят только преобразования одного вида энергии в другой.